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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para $x \rightarrow +\infty$ como para $x \rightarrow -\infty$) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
b) $f(x)=x e^{\frac{1}{x}}$
b) $f(x)=x e^{\frac{1}{x}}$
Respuesta
Asíntotas verticales
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Como el dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{0\}$, $x=0$ es candidato a asíntota vertical. Tomamos límite cuando $x$ tiende a $0$ para determinar si es o no asíntota vertical:
Por izquierda
$\lim_{x \to 0^-} x e^{\frac{1}{x}} $
Cuando $x$ tiende a $0$ por izquierda, el término $\frac{1}{x}$ tiende a $-\infty$. Y acordate que $e^{x}$ tiende a $0$ cuando el exponente tiende a $-\infty$. Por lo tanto, este límite nos da...
$\lim_{x \to 0^-} x e^{\frac{1}{x}} = 0 $
Por derecha
$\lim_{x \to 0^+} x e^{\frac{1}{x}} $
Atenti, ahora cambia la cosa! El exponente tiende a $+\infty$ y $e^{+\infty} = +\infty$... Es decir, nos quedó una indeterminación de tipo "cero por infinito". Una manera de salvar estas indeterminaciones es reescribiendo la expresión como un cociente, para transformarla en otra indeterminación donde podamos aplicar L'Hopital. Fijate que este límite lo podemos reescribir así:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{ e^{\frac{1}{x}} }{ \frac{1}{x} } $
Y ahora tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{ (-\frac{1}{x^2}) \cdot e^{\frac{1}{x}} }{ (-\frac{1}{x^2}) } = e^{\frac{1}{x}} = +\infty$
Atenti acá, como ya uno de los límites laterales nos dio infinito, eso ya basta para ponerle a $x=0$ la etiqueta de asíntota vertical =)
Asíntotas horizontales
Calculamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$\lim_{x \to +\infty} x e^{\frac{1}{x}} = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} x e^{\frac{1}{x}} = -\infty$
Tip por si no te diste cuenta: Fijate que $e^{\frac{1}{x}}$ te queda tendiendo a $e^0$, es decir, a $1$!
Como no tenemos asíntotas horizontales, veamos si hay oblicuas:
$ m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x e^{\frac{1}{x}}}{x} = e^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1$
$ b = \lim_{x \to \pm\infty} f(x) - mx = \lim_{x \to \pm\infty} x e^{\frac{1}{x}} - x $
Atenti acá, nos quedó una indeterminación de tipo "infinito menos infinito". Una manera de intentar reescribir esto, para transformarla en otra indeterminación que sepamos resolver, es sacar factor común, mirá:
$\lim_{x \to \pm\infty} x e^{\frac{1}{x}} - x = \lim_{x \to \pm\infty} x \cdot (e^{\frac{1}{x}} - 1) $
Ahora tenemos una indeterminación de tipo "cero por infinito", reescribo como un cociente para poder aplicar L'Hopital:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{ e^{\frac{1}{x}} - 1 }{ \frac{1}{x} } $
Ahora es una indeterminación de tipo "cero sobre cero", aplico L'Hopital:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{ (-\frac{1}{x^2}) \cdot e^{\frac{1}{x}} }{ (-\frac{1}{x^2}) } = e^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1$
Es decir, tenemos $b = 1$.
Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota oblicua en $y = x+1$