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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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5. Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para x→+∞x \rightarrow +\infty como para x→−∞x \rightarrow -\infty) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
b) f(x)=xe1xf(x)=x e^{\frac{1}{x}}

Respuesta

Asíntotas verticales

Como el dominio de ff es R−{0}\mathbb{R} - \{0\}, x=0x=0 es candidato a asíntota vertical. Tomamos límite cuando xx tiende a 00 para determinar si es o no asíntota vertical:

Por izquierda

lim⁡x→0− xe1x\lim_{x \to 0^-} x e^{\frac{1}{x}}

Cuando xx tiende a 00 por izquierda, el término 1x\frac{1}{x} tiende a −∞-\infty. Y acordate que exe^{x} tiende a 00 cuando el exponente tiende a −∞-\infty. Por lo tanto, este límite nos da...

lim⁡x→0− xe1x=0\lim_{x \to 0^-} x e^{\frac{1}{x}} = 0

Por derecha

lim⁡x→0+ xe1x\lim_{x \to 0^+} x e^{\frac{1}{x}}

Atenti, ahora cambia la cosa! El exponente tiende a +∞+\infty y e+∞=+∞e^{+\infty} = +\infty... Es decir, nos quedó una indeterminación de tipo "cero por infinito". Una manera de salvar estas indeterminaciones es reescribiendo la expresión como un cociente, para transformarla en otra indeterminación donde podamos aplicar L'Hopital. Fijate que este límite lo podemos reescribir así:

lim⁡x→0+  e1x    1x \lim_{x \to 0^+}  \frac{ e^{\frac{1}{x}}  }{  \frac{1}{x} }

Y ahora tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:

lim⁡x→0+ (−1x2)⋅ e1x   (−1x2) = e1x=+∞\lim_{x \to 0^+}  \frac{ (-\frac{1}{x^2}) \cdot e^{\frac{1}{x}}  }{  (-\frac{1}{x^2}) } = e^{\frac{1}{x}} = +\infty

Atenti acá, como ya uno de los límites laterales nos dio infinito, eso ya basta para ponerle a x=0x=0 la etiqueta de asíntota vertical =)

Asíntotas horizontales

Calculamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

lim⁡x→+∞ xe1x=+∞\lim_{x \to +\infty} x e^{\frac{1}{x}} = +\infty

lim⁡x→−∞ xe1x=−∞\lim_{x \to -\infty} x e^{\frac{1}{x}} = -\infty

Tip por si no te diste cuenta: Fijate que e1xe^{\frac{1}{x}} te queda tendiendo a e0e^0, es decir, a 11!

Como no tenemos asíntotas horizontales, veamos si hay oblicuas:

m=lim⁡x→±∞f(x)x= lim⁡x→±∞xe1xx= e1x=e0=1 m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x e^{\frac{1}{x}}}{x} = e^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1

b=lim⁡x→±∞f(x)−mx=lim⁡x→±∞ xe1x−x b = \lim_{x \to \pm\infty} f(x) - mx = \lim_{x \to \pm\infty} x e^{\frac{1}{x}} - x

Atenti acá, nos quedó una indeterminación de tipo "infinito menos infinito". Una manera de intentar reescribir esto, para transformarla en otra indeterminación que sepamos resolver, es sacar factor común, mirá:

lim⁡x→±∞ xe1x−x= lim⁡x→±∞ x⋅(e1x−1)\lim_{x \to \pm\infty} x e^{\frac{1}{x}} - x = \lim_{x \to \pm\infty} x \cdot (e^{\frac{1}{x}} - 1)

Ahora tenemos una indeterminación de tipo "cero por infinito", reescribo como un cociente para poder aplicar L'Hopital:

lim⁡x→±∞  e1x−1  1x \lim_{x \to \pm\infty} \frac{ e^{\frac{1}{x}} - 1 }{  \frac{1}{x} }

Ahora es una indeterminación de tipo "cero sobre cero", aplico L'Hopital:

lim⁡x→±∞ (−1x2)⋅ e1x   (−1x2) = e1x=e0=1\lim_{x \to \pm\infty} \frac{ (-\frac{1}{x^2}) \cdot e^{\frac{1}{x}}  }{  (-\frac{1}{x^2}) } = e^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1

Es decir, tenemos b=1b = 1. 

Por lo tanto, ff tiene una asíntota oblicua en y=x+1y = x+1
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